תהליך וינר

חמישה מימושים של תהליך וינר, עם סטיית תקן של התהליך באפור.

במתמטיקה, תהליך וינר הוא תהליך סטוכסטי ממשי ורציף הנקרא על שמו של המתמטיקאי האמריקאי נורברט וינר בעקבות מחקריו על התכונות המתמטיות של התנועה הבראונית החד-ממדית. תהליך וינר נקרא גם תנועה בראונית בשל הקשר ההיסטורי עם התהליך הפיזיקלי אשר נצפה במקור על ידי הבוטנאי הסקוטי רוברט בראון. זהו אחד המקרים הפרטיים החשובים של תהליכי לוי ויש לו יישומים רבים במתמטיקה, פיזיקה, כלכלה וביולוגיה.

במתמטיקה תהליך וינר הוא מרטינגל ולמעשה הוליד את המחקר של מרטינגלים בזמן רציף. זהו תהליך מרכזי שניתן לתאר באמצעותו תהליכים סטוכסטיים מורכבים. ככזה, הוא ממלא תפקיד חיוני בחשבון סטוכסטי . תהליך וינר משמש ביצירת העקומה המקרית; האבולוציה של שרם-לואנר .

בפיזיקה תהליך וינר משמש לחקר תנועה בראונית, דיפוזיה של חלקיקים זעירים בנוזל וסוגים אחרים של דיפוזיה באמצעות משוואת הדיפוזיה, משוואת פוקר-פלאנק ומשוואת לנז'בן. הוא גם מהווה את הבסיס לניסוח פורמלי של אינטגרלי מסלול במכניקת הקוונטים (לפי נוסחת פיימן-כץ , ניתן להציג פתרון למשוואת שרדינגר במונחים של תהליך וינר) ומשמש בחקר היקום התופח בקוסמולוגיה פיזיקלית.

ניתן להציג את תהליך וינר כאינטגרל סטוכסטי של תהליך גאוסי ("רעש לבן") עם תוחלת אפס, ושונות 1. לכן תהליך וינר שימושי כמודל של רעש בהנדסת אלקטרוניקה (ראה רעש בראוני), שגיאות מכשירים בתורת המסננים והפרעות בתורת הבקרה.

לתהליך וינר יש חשיבות במתמטיקה פיננסית, בפרט במודל בלאק ושולס לתמחור נגזרים.

הגדרה של תהליך וינר

תהליך וינר חד־ממדי הוא תהליך סטוכסטי ממשי, $W_{t}$, $t\geq 0$, המקיים:

1. $W_{0}=0$ כמעט בוודאות.
2. ל-$W$ יש תוספות זרות בלתי תלויות: לכל $t>0$, התוספות העתידיות $W_{t+u}-W_{t}$ אינן תלויות בערכי העבר $W_{s}$, $s<t$.
3. ל-$W$ יש תוספות נורמליות: ל- $W_{t+u}-W_{t}$ יש התפלגות נורמלית עם תוחלת $0$ ושונות $u$, כלומר, $W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u)$.
4. ל-$W$ יש כמעט בוודאות נתיבים רציפים: $W_{t}$ הוא כמעט בוודאות רציף ב $t$.

המשמעות שלתהליך יש תוספות זרות בלתי תלויות היא שאם $0\leq s_{1}<t_{1}\leq s_{2}<t_{2}$ אז $W_{t_{1}}-W_{s_{1}}$ ו- $W_{t_{2}}-W_{s_{2}}$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים, תכונה דומה מתקיימת עבור $n$ תוספות.

תהליך וינר כגבול של הילוך מקרי

נתונים משתנים מקריים $\xi _{1},\xi _{2},\ldots$ בלתי תלויים ושווי התפלגות עם תוחלת 0 ושונות 1. לכל $n$, נגדיר תהליך סטוכסטי בזמן רציף לכל $,t\in [0,1]$

$$.W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k}$$

$W_{n}$ מתאר הילוך מקרי. התוספות של $W_{n}$ הן בלתי תלויות. לפי משפט הגבול המרכזי כאשר $n$ שואף לאינסוף, $W_{n}(t)-W_{n}(s)$ שואף ל - $N(0,t-s)$. ממשפט דונסקר נובע כי כאשר כאשר $n$ שואף לאינסוף, $W_{n}$ שואף לתהליך וינר.

מימוש של תהליך וינר תלת־ממדי

כמו בהילוך מקרי, תהליך וינר הוא צפוף בממד אחד או בשני ממדים (כלומר שהוא חוזר כמעט בוודאות לכל סביבה נתונה של הראשית אינסוף פעמים) בעוד שהוא אינו צפוף בשלושה ממדים ומעלה (תהליך וינר רב ממדי הוא תהליך שהקואורדינטות שלו הן תהליכי וינר בלתי תלויים).

הדגמה של שינוי קנה מידה, מראה את $(1/{\sqrt {c}})W_{ct}$ כאשר מקטינים את c. שימו לב שהתכונות הממוצעות של הפונקציה אינן משתנות בזמן התקרבות, ושימו לב שההתקרבות היא באופן ריבועי מהר יותר אופקית מאשר אנכית.

שלא כמו הילוך מקרי, תהליך וינר לא משתנה עם שינוי בקנה מידה, כלומר, ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {c}}}\ W_{ct}}$ הוא תהליך וינר לכל קבוע חיובי שונה מאפס.

הצגה באמצעות טורי פורייה מקריים

וינר (1923) נתן גם ייצוג של תהליך וינר במונחים של טור פורייה מקרי. אם $\xi _{n}$ הם משתנים נורמליים בלתי תלויים עם תוחלת אפס ושונות אחד, אז

$W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}$

ו-

$W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}$

מייצגים תהליך וינר על $[0,1]$ (ראו משפט קוסמבי-קרהונן-לואב ).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תהליך וינר בוויקישיתוף

• תהליך וינר, באתר MathWorld (באנגלית)