קואליציה מהותית (Essential Coalition) הוא מושג בתורת המשחקים בתחום המשחקים השיתופיים המגדיר תכונה של קואליציה במשחק בצורה קואליציונית. חשיבות הקואליציות המהותיות בא לידי ביטוי בחישוב הליבה של המשחק.
סימונים:
- קבוצה סופית של שחקנים.
- היא פונקציה המתאימה לכל תת-קבוצה של שחקנים מספר ממשי ומקיימת .
- נקראת הפונקציה הקואליציונית.
- נסמן ב- את המשחק: .
נתחיל מהגדרת המושג קואליציה לא מהותית.
יהי משחק בצורה קואליציונית. קואליציה נקראת לא מהותית (inessential) במשחק אם קיימת חלוקה של שבה
כך שמתקיים .
קואליציה מהותית היא קואליציה שאינה לא מהותית.
- כל קואליציה הכוללת שחקן בודד היא מהותית, מאחר שכל חלוקה כוללת את הקואליציה עצמה ותו לא. כלומר .
- כל קואליציה לא מהותית ניתנת לחלוקה לקואליציות מהותיות כך שמתקיים . אכן, תהי קואליציה שאינה מהותית. נבצע חלוקה כלשהי של , אם קיבלנו בחלוקה קואליציה שאינה מהותית נמשיך ונחלק גם אותה. תהליך זה הוא בהכרח סופי לפי תכונה 1.
- הקואליציה לאו דווקא מהותית. ממשפט שפלי-בונדרבה מסיקים כי כדי שהליבה לא תהיה ריקה, יש לדרוש כי לכל חלוקה של יתקיים .
לכן, במשחקים בהם הליבה איננה ריקה ו- איננה מהותית, בהכרח מתקיים שוויון בנוסחא לעיל לכל חלוקה של .
1. לצורך חישוב הליבה של משחק , יש למצוא את כל וקטורי התשלומים כך ש:
וגם .
מדובר ב-
אי שוויונים ושוויון אחד שיש לפתור כדי למצוא את הליבה.
ניתן לראות כי אפשר להסתפק אך ורק באי השוויונים עבור הקואליציות המהותיות.
כלומר וקטור נמצא בליבה של אם ורק אם:
וגם לכל מהותית ב .
2. יהיו שני משחקים בצורה קואליציונית המקיימים
ש לכל קואליציה מהותית ב- או ב- .
אז לשני המשחקים יש את אותן קואליציות מהותיות ואת אותה הליבה.
נוכיח זאת במספר שלבים:
א. נראה כי קואליציה היא קואליציה מהותית ב- אם ורק אם היא קואליציה מהותית ב-.
נניח שהטענה לא נכונה. תהי קואליציה מינימלית שהיא מהותית באחד המשחקים, ולא מהותית בשני .
כאשר המעבר האחרון נובע מההנחה ומכך ש מהותית לפי
(מסעיף א נובע כי ניתן להציג את הסכום כך ש מהותיות לפי ).
כל הקואליציות הן תת-קואליציות ממש של , בסתירה.
ב. מכאן נסיק שאם אז הליבה של שווה לליבה של .
ג. נראה כי אם הליבות של ושל אינן ריקות אז .
יהי בליבה של , בליבה של .
- אם מהותית לפי או לפי אז מהתנאי .
- אם אינה מהותית לפי ולפי אז:
.
קיבלנו .
באופן סימטרי נקבל ולכן בסה"כ
.
מכך שהווקטורים יעילים נקבל ש .
נשים לב שמטענות ב ו-ג נובע כי אם הליבות של ושל אינן ריקות אז הן שוות זו לזו. קיבלנו כי לשני המשחקים הנ"ל יש את אותן הקואליציות המהותיות ואת אותה הליבה, כנדרש.