מודול מוצלב
בערך זה |
במתמטיקה, מודול מוצלב (באנגלית: crossed module) הוא מבנה מתמטי המורכב מ-2 חבורות G ו-H, כאשר G פועלת על H (ניתן לדון במקרה של פעולה שמאלית או פעולה ימנית ), ויש הומומורפיזם של חבורות
שמכבד את פעולת ההצמדה של G על עצמה
ומקיים את זהות פייפר (Peiffer):
- .
כאשר מגדירים מודול מוצלב עם פעולה ימנית , רושמים במקום:
וזהות פייפר היא
- .
דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]
- המודול המוצלב הטריוויאלי הוא מודול מוצלב ימני עם הפעולה ושמאלי עם .
- תהי תת-חבורה נורמלית ו- הומומורפיזם השיכון. זהו מודול מוצלב (ימני) עם הפעולה . הנורמליות מבטיחה ש- ולכן הפעולה מוגדרת היטב.
- כאשר d על והגרעין של d מרכזי, כלומר: .
- יהי כאשר d שולח כל איבר לאוטומורפיזם הפנימי בחבורות האוטומורפיזמים , והפעולה היא הפעולה הטבעית של האוטומורפיזם: (פעולה ימנית). אזי הוא מודול מוצלב (ימני).
שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]
הנושא הוזכר לראשונה על ידי ג'ון וייטהד בשנת 1941 ובעבדותו משנת 1946 הוא לראשונה השתמש בשם "מודול מוצלב". למודולים מוצלבים יש שימושים בחישוב קוהומולוגיות באלגברה הומולוגית ובפרט עם גישת חבורות-2 וגרופואידים. כמו כן, למושג זה קשר חזק לטופולוגיה אלגברית וחבורות הומוטופיה.
קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- J. Baez and A. Lauda, Higher-dimensional algebra V: 2-groups
- R. Brown, Groupoids and crossed objects in algebraic topology
- R. Brown, Higher dimensional group theory
- R. Brown, P.J. Higgins, R. Sivera, Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 pages. (August 2011) (אורכב 08.06.2020 בארכיון Wayback Machine).
- M. Forrester-Barker, Group objects and internal categories
- Behrang Noohi, Notes on 2-groupoids, 2-groups and crossed-modules
- Crossed module, Encyclopedia of Mathematics