למת הצינור: יהיו שני מרחבים טופולוגיים כך ש- קומפקטי. תהי נקודה ונניח שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את החתך . אזי מכילה קבוצה מהצורה כאשר היא סביבה פתוחה של , ז"א מתקיים .
את הקבוצה מכנים לעיתים צינור (tube).
ניתן להראות כי ניסוח שקול של הלמה בעזרת העתקות סגורות הוא כדלקמן: אם זוג מרחבים טופולוגיים כך ש- קומפקטי, אז ההטלה , היא סגורה.
הלמה ניתנת להרחבה באופן הבא:
הרחבת למת הצינור: יהיו שני מרחבים טופולוגיים, ונניח כי ו- תתי-קבוצות קומפקטיות. אם קיימת פתוחה כך ש- , אז קיימות קבוצות פתוחות ו- כך ש- .
ראשית, נעיין בכיסוי של החתך בידי קבוצות בסיסיות: כך שלכל , ו- פתוחות בטופולוגיות המתאימות. נוכל להניח שכל הקבוצות האלו מוכלות ב- (ניתן הרי לחתוך כל אחת מהן עם הפתוחה, שניתנת גם לרישום כאיחוד קבוצות בסיסיות).
החתך קומפקטי, שכן הוא הומיאומורפי ל- , שקומפקטי לפי הנחת המשפט. מכאן, הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי . נוכל להניח שכל אחת מקבוצות אלו חותכת את , שכן אחרת נוכל להשמיטה מהכיסוי.
נגדיר . זו קבוצה פתוחה כחיתוך סופי של קבוצות פתוחות, והיא גם מכילה את כי הוא שייך ל- לכל (מההנחה שכל קבוצה בכיסוי חותכת את החתך). אם כן, , ונותר לוודא כי מכילה את . זה נכון מכיוון ש- מהווה גם כיסוי של . אכן, בהינתן נקודה נוכל לעיין בנקודה . מהגדרת הכיסוי קיים עבורו , ולכן בפרט . מתקיים כי שכן למעשה לכל מהגדרת כחיתוך כל ה- -ים. לכן ואזי (הרי לכל ).
הדרישה בלמת הצינור ש- קומפקטי היא הכרחית. למשל ב- (בוחרים ), הקבוצה הפתוחה מכילה את החתך , אך היא אינה מכילה אף צינור סביבו. אכן, אם קיים בשלילה צינור המכיל את החתך ומוכל ב- , נובע כי לכל , מה שגורר כי , בסתירה להיותו קבוצה פתוחה ב- .
כאמור, מלמת הצינור ניתן להוכיח שמכפלה סופית של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית, באופן הבא (ההוכחה היא למכפלה של שני מרחבים קומפקטיים, וההכללה למספר סופי כלשהו באינדוקציה): יהיו זוג מרחבים קומפקטיים, ונראה שמכפלתם קומפקטית אף היא. יהי כיסוי פתוח של , ויש להראות שקיים לו תת-כיסוי סופי. לכל , החתך קומפקטי (הוא הומיאומורפי ל- ), ומכיוון ש- מכסה אותו הרי שקיים לו תת-כיסוי סופי . הקבוצה פתוחה (כאיחוד של פתוחות) ומכילה את החתך . לכן מלמת הצינור קיימת פתוחה כך ש- . נסיק כי הוא תת-כיסוי סופי גם של . האוסף מהווה כיסוי פתוח של הקומפקטי, ולכן קיים לו תת-כיסוי סופי . מכאן הוא כיסוי סופי של , וכפי שהוצג קודם כל אחד מאיבריו מכוסה על ידי מספר סופי של איברי . מכאן נסיק שיש ל- תת-כיסוי סופי מאיברי .
אין די בלמת הצינור בכדי להוכיח את משפט טיכונוף, המכליל את התוצאה הקודמת למכפלות אינסופיות של קבוצות קומפקטיות.