במתמטיקה , ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי , אינטגרל רימן-ליוביל הוא אופרטור אשר מייצג פעולת אינטגרל חוזר עבור מספר פעמים שאיננו שלם (רציונלי ) או מרוכב .
אינטרל רימן-ליוביל מבוסס על נוסחת האינטגרל החוזר של קושי והוא מהווה דוגמה לאינטגרל שברי בחשבון אינפיניטסימלי שברי .
האינטגרל נקרא על שמם של המתמטיקאים ברנהרד רימן וז'וזף ליוביל .
בהינתן זוג מספרים ממשיים
c
<
d
{\displaystyle c<d}
מסמנים ב-
L
1
(
[
c
,
d
]
)
{\displaystyle L^{1}([c,d])}
את מרחב הפונקציות האינטגרביליות לפי לבג על הקטע
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,d]}
. עבור
a
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle a\in [c,d]}
מגדירים אופרטור
J
a
:
L
1
(
[
c
,
d
]
)
→
L
1
(
[
c
,
d
]
)
{\displaystyle J_{a}:L^{1}([c,d])\to L^{1}([c,d])}
להיות אופרטור האינטגרציה שראשתו ב-
a
{\displaystyle a}
. כלומר, עבור פונקציה
f
∈
L
1
(
[
c
,
d
]
)
{\displaystyle f\in L^{1}([c,d])}
ו-
x
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle x\in [c,d]}
:
J
a
f
(
x
)
:=
∫
a
x
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle J_{a}f(x):=\int _{a}^{x}{f(t)dt}}
עבור
f
{\displaystyle f}
כזו ומספר טבעי
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
, בשנת 1823 הוכיח אוגוסטן קושי שלכל
x
∈
[
c
,
d
]
{\displaystyle x\in [c,d]}
מתקיים השוויון הבא:[1]
J
a
n
f
(
x
)
=
1
(
n
−
1
)
!
∫
a
x
(
x
−
t
)
n
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle J_{a}^{n}f(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{n-1}f(t)dt}}
כאשר
J
a
n
f
:=
J
a
(
J
a
(
…
J
a
⏟
n
times
(
f
)
)
)
{\displaystyle J_{a}^{n}f:=\underbrace {J_{a}(J_{a}(\dots J_{a}} _{n{\text{ times}}}(f)))}
.
אינטגרל רימן-ליוביל מרחיב את נוסחה זו ומחליף את המספר הטבעי
n
{\displaystyle n}
במספר מרוכב
α
{\displaystyle \alpha }
עם חלק ממשי חיובי. מאחר שלא מדובר כעת במספר טבעי, פעולת העצרת מוחלפת בפונקציית גמא שמרחיבה אותה. הרחבה זו מאפשרת להגדיר פעולות כדוגמת "חצי אינטגרל" (
α
=
1
/
2
{\displaystyle \alpha =1/2}
) או "שליש אינטגרל" (
α
=
1
/
3
{\displaystyle \alpha =1/3}
).
הגדרת האופרטור תקפה גם אם מחליפים את תחום הפונקציה
f
{\displaystyle f}
מהקטע
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,d]}
לקטע חצי סופי או ל-
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
כולו. עם זאת, בכל המקרים הללו עדיין נדרש להגדיר
a
{\displaystyle a}
כלשהו להיות ראשית האינטגרל, אך ניתן להגדירו גם להיות
α
=
∞
{\displaystyle \alpha =\infty }
או
α
=
−
∞
{\displaystyle \alpha =-\infty }
במקרה והתחום אינו חסום מלמעלה או מלמטה בהתאמה.
בהינתן תחום ממשי קמור
U
⊆
R
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }
(קטע סופי, חצי סופי או
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
כולו), מספר ממשי
a
∈
U
{\displaystyle a\in U}
(או
±
∞
{\displaystyle \pm \infty }
במקרה והתחום אינסופי כלפי מעלה או מטה) ומספר מרוכב
α
{\displaystyle \alpha }
בעל חלק ממשי חיובי (
Re
(
α
)
>
0
{\displaystyle \operatorname {Re} (\alpha )>0}
), אופטור רימן-ליוביל מסדר
α
{\displaystyle \alpha }
הוא האופרטור
J
a
α
:
L
1
(
U
)
→
L
1
(
U
)
{\displaystyle J_{a}^{\alpha }:L^{1}(U)\to L^{1}(U)}
כך שלכל פונקציה
f
∈
L
1
(
U
)
{\displaystyle f\in L^{1}(U)}
ולכל
x
∈
U
{\displaystyle x\in U}
:[2]
J
a
α
f
(
x
)
:=
1
Γ
(
α
)
∫
a
x
(
x
−
t
)
α
−
1
f
(
t
)
d
t
{\displaystyle J_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}f(t)dt}}
באופן דומה לפעולות האינטגרל והנגזרת, אופרטור רימן-ליוביל הוא אופרטור ליניארי. כלומר, לכל
f
,
g
∈
L
1
(
U
)
{\displaystyle f,g\in L^{1}(U)}
ולכל
c
,
d
∈
R
{\displaystyle c,d\in \mathbb {R} }
:
J
a
α
(
c
f
+
d
g
)
=
c
J
a
α
f
+
d
J
a
α
g
{\displaystyle J_{a}^{\alpha }(cf+dg)=cJ_{a}^{\alpha }f+dJ_{a}^{\alpha }g}
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי קובע כי הפעלת נגזרת על אינטגרל מחזירה את הפונקציה המקורית. כלומר:
d
d
x
J
a
f
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}J_{a}f(x)=f(x)}
הדבר נכון באופן שקול גם לאופרטור רימן-ליוביל:[3]
d
d
x
J
a
α
+
1
f
(
x
)
=
J
a
α
f
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}J_{a}^{\alpha +1}f(x)=J_{a}^{\alpha }f(x)}
ניתן להוכיח כי אוסף האופרטורים מסוג רימן ליוביל סגורים להרכבה. כלומר, עבור זוג מספרים מרוכבים
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
עם חלק ממשי חיובי מתקיים:
J
a
α
(
J
a
β
f
)
=
J
a
α
+
β
f
{\displaystyle J_{a}^{\alpha }(J_{a}^{\beta }f)=J_{a}^{\alpha +\beta }f}
בכך מהווים אופרטורי רימן-ליוביל חבורה למחצה .
מסמנים ב-
L
p
(
U
)
{\displaystyle L^{p}(U)}
מסמל את מרחב Lp בתחום זה עבור
p
>
1
{\displaystyle p>1}
ותחום ממשי
U
{\displaystyle U}
כלשהו. עבור כל
α
∈
C
{\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }
מספר מרוכב עם חלק ממשי חיובי, ניתן להוכיח כי האופרטור
J
a
α
{\displaystyle J_{a}^{\alpha }}
הפועל על
L
p
(
U
)
{\displaystyle L^{p}(U)}
הוא אופרטור חסום ועל כן רציף .
יתרה מכך, ניתן להוכיח כי לכל
f
∈
L
p
(
U
)
{\displaystyle f\in L^{p}(U)}
, מתקיים:
lim
α
→
0
+
‖
J
a
α
f
−
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}{\lVert J_{a}^{\alpha }f-f\rVert _{p}}=0}
כלומר, סדרת הפונקציות
J
a
α
f
{\displaystyle J_{a}^{\alpha }f}
שואפת ל-
f
{\displaystyle f}
כאשר
α
→
0
{\displaystyle \alpha \to 0}
כמעט בכל מקום . מסיבה זו טבעי להגדיר
J
a
0
=
I
{\displaystyle J_{a}^{0}=I}
כאשר
I
{\displaystyle I}
הוא אופרטור הזהות.
עבור הפונקציה
f
(
x
)
=
x
β
{\displaystyle f(x)=x^{\beta }}
המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
כלשהו:
J
0
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
0
x
(
x
−
t
)
α
−
1
t
β
d
t
{\displaystyle J_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{x}{(x-t)^{\alpha -1}t^{\beta }dt}}
על ידי החלפת משתנים
u
=
x
t
{\displaystyle u=xt}
מתקבל:
J
0
α
f
(
x
)
=
x
α
+
β
Γ
(
α
)
∫
0
1
(
1
−
u
)
α
−
1
u
β
d
u
=
x
α
+
β
Γ
(
α
)
B
(
α
,
β
+
1
)
=
x
α
+
β
Γ
(
α
)
Γ
(
α
)
Γ
(
β
+
1
)
Γ
(
α
+
β
+
1
)
=
Γ
(
β
+
1
)
Γ
(
α
+
β
+
1
)
x
α
+
β
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{0}^{\alpha }f(x)={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{1}{(1-u)^{\alpha -1}u^{\beta }du}\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}B(\alpha ,\beta +1)\\={\frac {x^{\alpha +\beta }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\\={\frac {\Gamma (\beta +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}x^{\alpha +\beta }\\\end{aligned}}}
כאשר הפונקציה
B
{\displaystyle B}
היא פונקציית בטא . תוצאה זו מתלכדת עם תוצאת האינטגרל השלם, כצפוי.
עבור הפונקציה
f
(
x
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\exp(x)}
המוגדרת לכל המספרים הממשיים ניתן לחשב את איטנגרל רימן-ליוביל מסדר
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
כלשהו:
J
−
∞
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
−
∞
x
(
x
−
t
)
α
−
1
exp
(
t
)
d
t
{\displaystyle J_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{-\infty }^{x}{(x-t)^{\alpha -1}\exp(t)dt}}
על ידי החלפת משתנים
u
=
x
−
t
{\displaystyle u=x-t}
מתקבל:
J
−
∞
α
f
(
x
)
=
1
Γ
(
α
)
∫
0
∞
u
α
−
1
exp
(
x
−
u
)
d
u
=
exp
(
x
)
Γ
(
α
)
∫
0
∞
u
α
−
1
exp
(
−
u
)
d
u
=
exp
(
x
)
Γ
(
α
)
Γ
(
α
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{-\infty }^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(x-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{u^{\alpha -1}\exp(-u)du}\\={\frac {\exp(x)}{\Gamma (\alpha )}}\Gamma (\alpha )\\=\exp(x)\end{aligned}}}
זאת באופן דומה לכך ש-
d
d
x
exp
(
x
)
=
exp
(
x
)
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\exp(x)=\exp(x)}
.
על אף שהפעולה ההפוכה לאינטגרל היא הנגזרת, ועל אף ש-
J
a
1
{\displaystyle J_{a}^{1}}
(
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
) הוא אופרטור האינטגרציה, לא ניתן להציב
α
=
−
1
{\displaystyle \alpha =-1}
באינטגרל רימן-ליוביל ולקבל את פעולת הנגזרת (למעשה, הצבה מסוג זו תוביל להתבדרות האינטגרל). באופן כללי, לא ניתן להציב באינטגרל רימן-ליוביל ערכים עם ערך ממשי שלילי (ובפרט מספרים שליליים).
עם זאת, ניתן להרחיב את הגדרת אינטגרל רימן-ליוביל כדי שתכלול גם נגזרות. עבור מספר ממשי
α
>
0
{\displaystyle \alpha >0}
ניתן להגדיר את
D
a
α
{\displaystyle D_{a}^{\alpha }}
להיות נגזרת רימן-ליוביל מסדר
α
{\displaystyle \alpha }
כך שלכל פונקציה
f
{\displaystyle f}
אינטגרבילית לפי לבג ולכל
x
{\displaystyle x}
בתחום שלה:[4]
D
a
α
f
(
x
)
:=
d
⌈
α
⌉
d
x
⌈
α
⌉
J
a
⌈
α
⌉
−
α
f
(
x
)
{\displaystyle D_{a}^{\alpha }f(x):={\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)}
זאת כאשר
⌈
⋅
⌉
{\displaystyle \lceil \cdot \rceil }
היא פונקציית התקרה . כלומר, מבצעים את אינטגרל רימן-ליוביל מסדר כלשהו בין 0 ל-1 המשלים את
α
{\displaystyle \alpha }
למספר שלם, ולאחר מכן גוזרים מספר פעמים. עבור
α
{\displaystyle \alpha }
טבעי, הגדרה זו מתלכדת עם הגדרת הנגזרת הסטנדרטית.
באופן כללי, ניתן להרחיב את נגזרת רימן-ליוביל עבור כל
α
{\displaystyle \alpha }
ממשי:
D
a
α
f
(
x
)
:=
{
d
⌈
α
⌉
d
x
⌈
α
⌉
J
a
⌈
α
⌉
−
α
f
(
x
)
if
α
>
0
f
(
x
)
if
α
=
0
J
a
−
α
f
(
x
)
if
α
<
0
{\displaystyle D_{a}^{\alpha }f(x):={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}J_{a}^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha >0\\f(x)&{\text{if }}\alpha =0\\J_{a}^{-\alpha }f(x)&{\text{if }}\alpha <0\\\end{cases}}}
באופן דומה לאינטגרל רימן-ליוביל, גם נגזרת רימן-ליוביל מקיימת ליניאריות, הרכבה, רציפות ואת המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
נגזרת רימן-ליוביל היא נגזרת שברית , כלומר פעולת נגזרת-אינטגרל אשר מקבלת את כל הערכים הממשיים.
^ Roudy El Haddad, Repeated Integration and Explicit Formula for the $n$-th Integral of $x^m (\ln x)^{m'}$ , Open Journal of Mathematical Sciences 6, 2022-12-31, עמ' 51–75 doi : 10.30538/oms2022.0178
^ Eric W. Weisstein, Riemann-Liouville Operator , mathworld.wolfram.com (באנגלית)
^ Paulo Mendes Carvalho-Neto, Renato Fehlberg Júnior, The Riemann-Liouville fractional integral in Bochner-Lebesgue spaces I , 2021
^ Yuri Luchko, Fractional derivatives and the fundamental theorem of Fractional Calculus , Fractional Calculus and Applied Analysis 23, 2020-08, עמ' 939–966 doi : 10.1515/fca-2020-0049