במתמטיקה, ממוצע סטולרסקי הוא גודל מתמטי אשר מתאר את הממוצע של שני מספרים חיוביים. ממוצע זה מאחד את הגדרותיהם של הממוצע החשבוני, הממוצע ההנדסי והממוצע הלוגריתמי.
בהינתן שני מספרים חיוביים ו- ומספר ממשי , ממוצע סטולרסקי מחזקה מוגדר להיות:[1]
ממוצע סטולרסקי נוסח לראשונה על-ידי קנת' סטולרסקי בשנת 1975.[2]
משפט הערך הממוצע של לגרנז' קובע כי בהינתן שני מספרים ממשיים ופונקציה רציפה בקטע הסגור וגזירה בקטע הפתוח , אזי קיים כך ש:
אם הנגזרת היא פונקציה חד-חד-ערכית, זה הוא יחיד וניתן להתייחס אליו כממוצע של ו- לפי הפונקציה .
ממוצע סטולרסקי מחזקה מתקבל מקביעת .
ממוצע סטולרסקי הוא סימטרי:
ניתן להוכיח כי ממוצע סטולרסקי עולה מונוטונית בשני משתנים. כלומר, בהינתן ו- ניתן להוכיח כי
ממוצע סטולרסקי הוא הומוגני. כלומר, לכל ו- ולכל מקדם :
ממוצע סטולרסקי הוא רציף בשני משתנים. בנקודות שבהן הרציפות נובעת מכך שממוצע סטולרסקי הוא הרכבה של פעולות אלמנטריות (חזקה, כפל, חיסור וכו') שכולן רציפות. עבור הנקודות שבהן ניתן להיעזר בגבול:
כדי לקבל ש:
ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים ו- מתקיים:
כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר שואף למקסימום של ו-. על כן ניתן להגדיר כי
במקרה שבו מתקבל:
זהו למעשה הממוצע החשבוני.
על אף שממוצע סטולרסקי אינו מוגדר ישירות עבור , ניתן למצוא אותו באמצעות גבול. ניתן להוכיח כי:
ממוצע זה הוא הממוצע הזהותי. על כן, ניתן להגדיר כי היא פונקציית הממוצע הזהותי.
מגדירים:
על ידי הפעלת פונקציית הלוגריתם על שני אגפי המשוואה ושימוש בכלל לופיטל מתקבל:
על ידי הפעלת פונקציית האקספוננט על שני האגפים מתקבל:
מש"ל.
גם במקרה ניתן להגדיר את ממוצע סטולרסקי על-ידי מציאת גבול. ניתן להוכיח כי:
ממוצע זה הוא הממוצע הלוגריתמי. על כן, ניתן להגדיר כי היא פונקציית הממוצע הלוגריתמי.
על ידי שימוש בכלל לופיטל ניתן להוכיח כי:
לכן:
מש"ל.
במקרה שבו מתקבל:
זהו למעשה הממוצע הגאומטרי.
ניתן להוכיח כי לכל שני מספרים חיוביים ו- מתקיים:
כלומר, שהגבול של ממוצע סטולרסקי כאשר שואף למינימום של ו-. על כן ניתן להגדיר כי