מכפלת ואליס
במתמטיקה, מכפלת ואליס לחישוב פאי, הנקראת על שם ג'ון ואליס שגילה אותה בשנת 1655, היא הנוסחה הבאה:
בשנת 2015 הפיזיקאי קארל ריצ'רד האיגן (Carl Richard Hagen) הוכיח כי יש קשר בין מכפלת ואליס לחישוב מודל בוהר של אטום חמצן.
הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]
הוכחה על בסיס מכפלת אוילר לפונקציית סינוס[עריכת קוד מקור | עריכה]
נציב x =π/2:
הוכחה על בסיס אינטגרציה[עריכת קוד מקור | עריכה]
נגדיר:
נבצע אינטגרציה בחלקים:
נשתמש במשוואה פונקציונלית הזו בדרך הבאה:
נחזור על התהליך ונראה כי:
נחזור על התהליך ונראה כי:
- , (מהתוצאות הנ"ל)
ניתן לראות על פי כלל הסנדוויץ' כי:
קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]
- מכפלת ואליס, באתר MathWorld (באנגלית)