בדיקת שינויים ספציפיים

'{{פירוש נוסף|נוכחי=תכונות פיזיקאליות של אטום המימן|אחר=יסוד הכימי|ראו=[[מימן]]}} '''אטום המימן''' הוא ה[[אטום]] של ה[[יסוד כימי|יסוד]] [[מימן]]. אטום מימן ניטרלי מכיל [[פרוטון]] אחד בעל [[מטען חשמלי|מטען]] חיובי [[אלקטרון|ואלקטרון]] בעל מטען שלילי הקשורים ביניהם בכח חשמלי. כ-75% מהמסה של החומר [[באריון|(הבאריוני)]] ביקום היא מימן. אטומי מימן ומופיעים כתרכובת במולקולות רבות. מאידך, אטומי מימן נפרדים (שאינם חלק של מולקולה) נדירים בתנאי לחץ וטמפרטורה רגילים בכדור הארץ. אטום המימן הוא האטום הפשוט ביותר [[הטבלה המחזורית|בטבלה המחזורית]] של היסודות בטבע, והיה במוקד המהפיכה בסוף המאה ה-19 ותחילת המאה ה-20, שהובילה לפיתוחה של [[מכניקת הקוונטים]]. עקב פשטותו, ניתן לחשב בדיוק גבוה מאד את ספקטרום האנרגיות שלו במסגרת [[מכניקת הקוונטים|מכניקה קוונטית]] הכוללים תיקונים יחסותיים של [[תורת השדות הקוונטית|תורת השדות הקוונטים]]. כיוון שספקטרום האנרגיות ניתן למדידה ברמת דיוק גבוהה מאד (בעזרת [[:en:Frequency_comb|מסרק תדירויות]]) ניתן לעמת, ולאמת, את התחזיות של מכניקת הקוונטים מול המציאות ברמת דיוק חסרת תקדים. אטום המימן במאה ה-21 ממשיך להיות רלוונטי למחקר בפיזיקה בסיסית: סטיות מזעריות, שעדיין לא נמצאו, בין התיאוריה לנסיון עשויות להצביע על פיזיקה חדשה מעבר ל[[המודל הסטנדרטי|מודל הסטנדרטי]] של פיזיקת החלקיקים . ==רקע היסטורי== הנרי קוונדיש, פיזיקאי אנגלי, זהה לראשונה את אטום המימן כיסוד בסדרת ניסוים בין השנים 1766-1781. כיוון שתוצר השריפה של מימן הוא מים, קרא קוונדיש ליסוד Hydrogenium, הלחם של שתי מילים ביוונית שפירושן יוצר-מים. בשנת 1859 הראו הפיזיקאי הגרמני גוסטב קירהוף והכימאי הגרמני רוברט בונזן, כי אורכי הגל של צבעי האור (ספקטרום) הנפלטים מאטומים שונים מהווה "טביעת אצבע" יחודית לכל אטום<ref>https://www.spectroscopyonline.com/view/timeline-atomic-spectroscopy</ref>. בשנת 1885 מצא [[יוהאן יאקוב בלמר|יוהן יעקב בלמר,]] מתמטיקאי שויצרי, נוסחה אמפירית עבור סדרה של אורכי הגל המאפיינים את קווי הבליעה והפליטה של אטום המימן<ref>{{צ-מאמר|שם=Balmer series|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2024-03-28|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Balmer_series&oldid=1216035803}}</ref>. חמש שנים לאחר מכן, הכליל [[יוהנס רידברג]], פיזיקאי שודי, את נוסחת בלמר לכל ארכי הגל בספקטרום של אטום המימן, בנוסחה אמפירית<ref>{{צ-מאמר|שם=Rydberg formula|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2024-04-05|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Rydberg_formula&oldid=1217421234}}</ref> <math>\frac{1}{\lambda} = R_\text{H}\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) </math> כאשר <math>R_H</math> הקבוע של רידברג (ביחידות של [[מספר גל]]), <math>n_{1,2}</math> טבעיים (שלמים וחיובים) ו <math>\lambda</math> אורך הגל. נסיונות פיזור של [[ארנסט רתרפורד]] ב-1909 הראו שהאטום מורכב מגרעין זעיר מוקף בענן אלקטרוני. הפיסיקה הקלאסית, חוקי ניוטון ומכסוול, לא רק שאינה נותנת הסבר תיאורטי לנוסחה האמפירית של של רידברג, אלא אף מובילה למסקנה שאטומים אינם יכולים להיות יציבים, ובפרק זמן מזערי האלקטרון צריך היה לקרוס לגרעין. בשנת 1913 [[נילס בוהר|נילס ,בוהר]], פיזיקאי דני, ושלוש שנים לאחר מכן, [[ארנולד זומרפלד]], פיזיקאי גרמני, פתחו תיאוריה קוונטית למחצה (סמי-קלאסית) שנתנה את הנוסחה האמפירית של רידברג, ובטאה את הקבוע של רידברג באמצעות קבועי יסוד של הטבע: מטען האלקטרון, מסתו, ו[[קבוע פלאנק|הקבוע של פלנק]] המאפיין את המכניקה הקוונטית. התיאוריה הסמי-קלאסית לא הייתה שלמה כיוון שלא הצליחה לתאר למשל את [[אפקט זימן]], ולא ניתן היה להכליל אותה לאטומים מרובי אלקטרונים. האתגר למצוא הסבר תיאורטי שלם לתכונות הספקטרום של אטום המימן הנחה את [[ורנר הייזנברג]], פיזיקאי גרמני, ארוין [[ארווין שרדינגר|שרדינגר]], פיזיקאי אוסטרי, [[נילס בוהר|ונילס ובוהר]], פיזיקאי דני,בפיתוח של תורת הקוונטים בשנות ה-20 של המאה העשרים. בשנת 1926 פרסם [[ארווין שרדינגר|ארוין שרדינגר]], מאמר בעיתון ''[[Annalen der Physik]] שכותרתו היתה "קוונטיזציה כבעית ערכים עצמיים", ובה הציע לראשונה את [[משוואת שרדינגר|משואת שרדינגר]], בצורה שאנו מכירים אותה היום, וחשב באמצעותה את הספקטרום של אטום המימן, שיחזר את הנוסחה האמפירית של רידברג ואת התוצאה הסמי-קלאסית של בוהר וזומרפלד.'' שנה לפני כן, ב 1925, ניסחו גיאורג אולנבק<ref>{{קישור כללי|כתובת=https://davidson.weizmann.ac.il/online/sciencehistory/%D7%94%D7%A9%D7%95%D7%90%D7%94-%D7%A9%D7%9C-%D7%9E%D7%93%D7%A2%D7%9F-%D7%94%D7%92%D7%A8%D7%A2%D7%99%D7%9F|הכותב=איתי נבו|כותרת=השואה של מדען הגרעין|אתר=מכון דוידסון|תאריך=20.4.2020}}</ref> וסמואל גאודסמיטד היפותיזת הספין של האלקטרון<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Spin_(physics)</ref>, ושנה לאחר מכן ב 1927, מדדו פיליפ וטילור את אפקט שטרן גרלך באטום המימן<ref>{{צ-מאמר|שם=Hydrogen atom|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2024-04-19|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Hydrogen_atom&oldid=1219688683}}</ref>, ובכך איששו את היפותיזת הספין של האלקטרון. באותה שנה, הכליל [[וולפגנג פאולי]] את משואת שרדינגר לחלקיק עם ספין, משואה שידועה בשם משואת שרדינגר-פאולי<ref>{{צ-מאמר|שם=Pauli equation|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2024-04-27|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pauli_equation&oldid=1220970375}}</ref>. בשנת 1928 הכליל [[פול דיראק|פול דירק]], פיזיקאי אנגלי, את משואת שרדינגר עבור אלקטרון יחסותי. משואת דירק לאטום המימן התאימה לכל התוצאות הנסיוניות של הספקטרום של האטום עד שנת 1947. באותה שנה מצאו [[ויליס לם|ויליס למב]] ורוברט רתרפורד סטיה קטנה מתורת דירק<ref name=":0">https://en.wikipedia.org/wiki/Lamb_shift</ref>. לפי תורת דירק הרמה <math>{}^2 S_{1/2}</math> והרמה <math>{}^2 P_{1/2}</math> מנוונות באנרגיה. בעוד שהנסיון הראה ששתי הרמות נבדלות באנרגיה. [[הנס בתה]], פיזיקאי גרמני-אמריקאי, חשב את הפיצול באנרגיה במסגרת [[אלקטרודינמיקה קוונטית|התורה הקוונטית של השדה האלקטרומגנטי]]<ref name=":0" />. במאה ה 21 אטום המימן הוא אחת הפלטפורמות למחקר של הפיזיקה מעבר למודל הסטנדרטי. המחקר מתמקד בחיפוש אחר אי התאמות זעירות בין התיאוריה של תורת השדות הקוונטית לבין מדידות ספקטרוסקופיות מאד מדויקות, בעזרת מסרק תדירויות<ref>{{צ-מאמר|שם=Frequency comb|כתב עת=Wikipedia|שנת הוצאה=2024-04-09|קישור=https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Frequency_comb&oldid=1218008187}}</ref>, של ספקטרום אטום המימן<ref>https://link.springer.com/article/10.1140/epjd/s10053-023-00702-9</ref>. == איזוטופים == ה[[איזוטופ]] הנפוץ ביותר של מימן, ¹H הנקרא גם פרוטיום הנוי מ[[פרוטון]] אחד בגרעין ואלקטרון אחד. שני [[איזוטופ|איזוטופים]] נפוצים פחות של מימן: [[דאוטריום]] (מסומן ²H, או D) ו[[טריטיום]] (מסומן ³H, או T). הגרעין של הדאוטריום מכיל פרוטון אחד ו[[נייטרון]] אחד והגרעים של הטריטיום מכיל שני נייטרונים ופרוטון אחד. איזוטופים כבדים יותר של מימן נוצרים במאיצי חלקיקים ומתקיימים לשברירי שניות. השימוש העיקרי בדאוטריום הוא ב[[מים כבדים]] המשמשים כמאיטי ניוטרונים בסוגים מסויימים של [[כור גרעיני|כורים גרעיניים]]. המים הכבדים בנויים משני אטומי דאוטריום הקשורים לאטום חמצן. השימוש העיקרי בטריטיום הוא כנפץ בפצצות מימן<ref>[[טריטיום]]</ref>. == משוואת שרדינגר לאטום המימן == משואת שרדינגר (שאינה תלויה בזמן) לאטום המימן היא <math>\left(-\frac{\hbar^2}{2 m} \Delta +eV\right)\psi= E\psi, \quad V=-\frac k r </math> כאשר <math>\Delta</math> הוא [[לפלסיאן|הלפלסיאן]] בשלושה ממדים, <math>\hbar</math> [[קבוע פלאנק|הקבוע של פלנק]], <math>m</math> המאסה (המצומצמת) של האלקטרון, ו <math>V</math> הוא [[חוק קולון|פוטנציאל קולון.]] <math>k=\frac e {4 \pi \epsilon_0} </math> ביחידות SI ו- <math>k=e </math> ביחידות cgs. <math>e</math> הוא מטען האלקטרון, <math>\epsilon_0</math> ה[[מקדם דיאלקטרי|מקדם הדיאלקטרי של הואקום]] ו <math>r</math> הקואורדינטה הרדיאלית. <math>\psi</math> היא [[פונקציית גל|פונקצית הגל]] של שרדינגר, פונקציה מרוכבת של שלושת הקואורדינטות המרחביות, המתארת [[פונקציית גל|אמפליטודת (צפיפות) הסתברות]] למציאת האלקטרון בנקודה במרחב. <math>E</math> היא האנרגיה של האלקטרון. <math>E<0</math> מתאר את המצבים בהם האלקטרון קשור לגרעין המימן. <math>E>0</math> חיובי מתאר את מצבי פיזור כאשר האלקטרון אינו קשור לגרעין המימן. ניתן להראות כי עבור <math>E<0</math> קיימים פתרונות למשואת שרדינגר (עם פירוש הסתברותי לפונקציית הגל<ref>פונקציית הגל ברת נירמול, כך שההסתברות למצוא את האלקטרון במקום כל שהוא היא יחידה.</ref>) עבור אנרגיות בדידות הידועות כערכים [[ערך עצמי|כערכים עצמיים.]] הערכים העצמיים נתונים בנוסחה<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom</ref><math display="block">E_n = - \frac{R_\infty}{n^2},\quad R_\infty=\frac{ m e^2 k^2}{2 \hbar^2 } \, \,\!,\quad n=1,2,\dots</math><math>R_\infty</math> הוא קבוע רידברג לאטום המימן ביחידות של אנרגיה. כאשר האלקטרון דועך מרמת אנרגיה אחת לרמת אנרגיה נמוכה יותר, נפלט פוטון שהאנרגיה שלו היא הפרש האנרגיה בין שתי הרמות. תוצאה שנובעת מחוק שימור האנרגיה. נוסחת פלנק קושרת את תדירות הפוטון לאנרגיה שלו, ומכאן נובעת הנוסחה האמפירית של רידברג <math>\hbar \omega =E_{n_2}-E_{n_1}= R_{\infty}\left(\frac 1 {n_1^2}-\frac 1 {n_2^2}\right), \quad \omega=\frac{2\pi c}\lambda</math> הקשר בין קבוע רידברג ביחידות של מספר גל וביחידות אנרגיה נתון בנוסחה <math>R_\infty= 2\pi\, \hbar\, c\, R_H</math> כאשר c מהירות האור. קבוע רידברג ביחידות של אלקטרון וולט הוא <math>R_\infty = 13.605\;693\;122\;994(26) \,\text{eV} </math>. === המספרים הקוונטים של רמות האנרגיה === המספר הטבעי <math>n</math> בנוסחה לאנרגיה <math>E_n</math> של מצב קשור נקרא המספר הקוונטי הראשי. כדי לאפיין באופן חד ערכי את פונקצית הגל של רמת האנרגיה <math>E_n</math> יש צורך במספרים קוונטים נוספים. הצורך במספרים אלה נובע מכך שמצבים קוונטים שונים, המאופינים של ידי פונקציות גל <math>\psi</math> שונות , חולקים את אותה אנרגיה. רמות אנרגיות כאלה נקראות מנוונות. איפיון חד ערכי של פונקציות הגל דורש שלושה מספרים קוונטים <math>n,\ell,m</math> כאשר <math>\ell</math> נקרא המספר הקוונטי של התנע הזויתי הכללי ומקבל ערכים שלמים <math>\ell=0,\dots, n-1</math> ו <math>m</math> נקרא המספר הקוונטי המגנטי (לחילופין התנעי הזויתי על ציר כל שהוא) ומקבל ערכים שלמים <math>m=-\ell,\dots,\ell</math>. פונקצית הגל מיוצגת חד ערכית על ידי השלשה: <math>\psi_{n,\ell, m}</math>. מקובל לסמן את מצבי התנע הזויתי הנמוכים באותיות: <math>\ell=0 \Leftrightarrow S, \quad \ell=1 \Leftrightarrow P, \quad \ell=2 \Leftrightarrow D </math> כך למשל, <math>{}^2 S_{1/2}</math> מציין את הרמה עם מספר קוונטי עיקרי <math>n=2 </math>, תנע זויתי <math>\ell=0 </math> וספין <math>1/2 </math>. המספרים הקוונטים <math>\ell,m</math> נובעים מהסמטריה של אטום המימן: למשואת שרדינגר לאטום המימן יש סמטריה תחת סיבוב כל שהוא בשלושה ממדים. כתוצאה מהסמטריה ניתן לראות כי בקואורדינטות כדוריות יש לפונקצית הגל הצורה <math>\psi_{n,\ell,m}= R_{n,\ell}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi)</math> כאשר <math>Y_{\ell m}(\theta,\phi)</math> [[:en:Spherical_harmonics|פונקציה הרמונית כדורית.]] במיוחד, פונקצית הגל של מצב היסוד נתונה בנוסחה <math>\psi_{1,0,0} (r) = \frac{1}{\sqrt{\pi} a_0^{3 / 2}} e^{-r / a_0}, \quad a_0=\frac{4\pi \epsilon_0\hbar^2}{me^2} </math> כאשר <math>a_0\approx 0.529 \times 10^{-10}\, [m] </math> רדיוס בוהר. באופן כללי הפונקציות הרדיאליות הן: <math display="block">R_{n \ell } \left(r \right) = \sqrt{ \left(\frac{2}{na_0} \right) ^3 \frac{ \left(n- \ell -1 \right) !}{ 2n \left [ \left(n + \ell \right) ! \right ]}} e^{- \frac{r}{na_0}} \left(\frac{2r}{na_0} \right) ^{\ell} \left [ L _{n - \ell -1} ^{2 \ell + 1} \left(\frac{2r}{na_0} \right) \right ] </math> כאשר <math>L _{n - \ell -1} ^{2 \ell + 1} \left(x \right)</math> הם [[פולינומי לגר]] המוכללים. <!-- == פתרון המשוואה == נתחיל בפתרון משוואת שרדינגר תחת ההנחה <math>V(\vec{r})=V(|\vec{r}|)=V(r)</math>, כלומר תחת ההנחה שהפוטנציאל תלוי ברדיוס בלבד. נשים לב שמפוטנציאל כזה נצפה לפי [[משפט נתר (פיזיקה)|משפט נתר]] שיקיים שימור תנע זוויתי (כפי שניתן לראות מהניוון ב<math>\ell</math>). נכתוב את המשוואה באמצעות נוסחת לפלסיאן בקואורדינטות כדוריות: <math>E\psi=-\frac{\hbar^2}{2m\cdot r^2\sin\theta}[\sin\theta \frac{\partial}{\partial r}(r^2\frac{\partial\psi}{\partial r})+\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta\frac{\partial\psi}{\partial\theta})+\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial\varphi^2}]</math>. כעת יש להפריד משתנים <math>\psi(r,\theta,\varphi)=R(r)\cdot Y(\theta, \varphi)</math>, ואם נפתח את המשוואה נקבל <math>\begin{array}{lcl} -\ell(\ell+1)Y & = & \frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial Y}{\partial \theta}+\frac{1}{\sin^2\theta}\cdot\frac{\partial^2 Y}{\partial \varphi^2} \\ E\cdot R(r) & = & \underbrace{ -\frac{\hbar^2}{2mr^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2 \frac{\partial R}{\partial r}) }_{I} +(V(r)+\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2})R(r) \end{array}</math>. אם נגדיר <math>u(r)=r\cdot R(r)</math> נקבל שמה שסימנו בI שווה בעצם ל<math>I=-\frac{\hbar^2}{2mr}\cdot u^{\prime\prime}</math>. אם נסמן כפי שמקובל <math>V_{eff}(r)=V(r)+\frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2mr^2}</math>, נקבל את המשוואה (הכללית, לכל פוטנציאל רדיאלי) הבאה: <math>-\frac{\hbar^2}{2m}u^{\prime\prime}+V_{eff}(r)\cdot u=Eu</math>. עכשיו, אם ניזכר בהגדרת אופרטור [[תנע זוויתי|התנע הזוויתי]] בקואורדינטות כדוריות נקבל שהמשוואה שלנו עבור Y היא בדיוק <math>L^2Y=\hbar^2\ell(\ell+1)</math>. מתקיים <math>[L_z,H]=[L^2,H]=[L^2,L_z]=0</math> וניתן לקחת סט וקטורים שהוא ו"ע של כל אחד מהווקטורים האלו. נסמן אם כך <math>L_zY=m\hbar Y</math> (נשים לב שבחרנו את <math>m, \ell</math> להיות חסרי יחידות). נתחיל מהמשוואה הפשוטה יותר, שעוסקת בתנע הזוויתי בכיוון z - <math>L_zY(\theta,\varphi)=-i\hbar\frac{\partial Y(\theta, \varphi)}{\partial\varphi}=\hbar mY(\theta, \varphi)</math>. אם נפריד <math>Y(\theta, \varphi)=\Theta(\theta)\Phi(\varphi)</math> נקבל שהחלק התלוי ב-''θ'' מצטמצם, וקיבלנו <math>\Phi(\varphi)=A\cdot e^{im\varphi}</math>. מהנרמול נקבל את הקבוע A, ומהדרישה <math>\Phi(\varphi)=\Phi(\varphi+2\pi)</math> נקבל שm חייב להיות שלם. סה"כ - <math>\Phi(\varphi)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{im\varphi}</math> ותנאי קוונטיזציה <math>m\in\mathbb{Z}</math>. כעת, אם נגדיר אופרטורים <math>L_\pm=L_x\pm L_y</math>(מבחינה פיזיקלית ניווכח בהמשך שאלו [[אופרטורי סולם]]) נקבל <math>L_\pm L_\mp=L^2-L_z^2\pm\hbar L_z</math>, וכן <math>L_\pm^\dagger=L_\mp</math>. כעת, אם נתבונן במצב הקוונטי <math>|\ell m\rangle</math> (שהוא, אם ניזכר, סימן שלנו למצב קוונטי בו מתקיים<math>\begin{array}{lcl} \langle L^2\rangle_{|\ell m\rangle} & = & \hbar^2\ell(\ell+1) \\ \langle L_z\rangle_{|\ell m\rangle} & = & m\hbar \end{array}</math>(הפונקציות שלנו הן פונקציות עצמיות של התנע הזוויתי הכולל וגם של התנע הזוויתי בכיוון z) נקבל שמתקיים <math>\langle\ell m|L_\pm L_\mp|\ell m\rangle=\langle L_\mp\ell m|L_\mp\ell m\rangle\geq 0</math> . מהחישוב שלנו ל-<math>L_\pm L_\mp</math>, מתקבל כי <math>\hbar^2(\ell(\ell+1)-m^2\pm m)=\hbar^2(\ell(\ell+1)-\pm m(\pm m+1)\geq 0</math> ואם מחלקים ב-<math>\hbar^2</math> ונשתמש בכך ש<math>f(x)=x(x+1)</math> עולה, נקבל ש<math>|m|\leq l</math>. גם לתוצאה זו תימצא משמעות פיזיקלית בהמשך. אם נשתמש בעובדה <math>[L_z,L_\pm]=\pm\hbar L_\pm</math> נקבל <math>L_zL_\pm|\ell m\rangle=(L_\pm L_z\pm\hbar L_-)=\hbar(m\pm1)L_-|\ell m\rangle</math>. כלומר קיבלנו שאותם אופרטורים הם באמת אופרטורי סולם - מגדילים באחת או במינוס אחת את הערך העצמי של הפונקציה. למעשה, מצאנו קודם את קבוע הנרמול (שהרי קיבלנו פונקציה עצמית אבל לא בטוח שהיא מנורמלת) - שהרי חישבנו למעלה את <math>\langle L_\mp\ell m|L_\mp\ell m\rangle</math>. אם כך, נשתמש בכתיב של וקטורים מנורמלים ונקבל (בעזרת ידיעת הנורמה של התוצאה) שמתקיים <math>L_\pm|\ell m\rangle=\hbar\sqrt{\ell(\ell+1)-m^2\pm m}|\ell,m\pm1\rangle</math> . אם נפתור את המשוואה עבור<math>\Theta(\theta)</math> נקבל בסופו של דבר <math>Y(\theta, \varphi)=Y_\ell^m(\theta, \varphi)</math>.(עבור תטא תתקבל משוואת לז'נדר המוכללת ופתרונותיה פולינומי לז'נדר הנלווים). לחלופין, ניתן להשתמש בעובדה ש<math>L_+|\ell \ell\rangle=0</math> ולקבל משוואה על <math>|\ell \ell\rangle</math> ולקבל <math>\Theta_{\ell \ell}=A_l\cdot(sin\theta)^\ell</math>. אם נפעיל עכשיו l-n פעמים את <math>L_-</math> ונדאג לנרמל, נקבל שוב הפתרון <math>|\ell m\rangle =\frac{e^{im\varphi}}{\sqrt{2\pi}}\cdot (-1)^\ell \frac{(2\ell+1)(\ell+m)!}{(\ell-m)!}\cdot \frac{1}{2^l\cdot\ell!} \cdot\frac{1}{sin^m\theta}\frac{d}{d(cos\theta)}sin^{2\ell}\theta</math> אם כך, נשארה לנו הפונקציה הרדיאלית - המשוואה היא <math>-\frac{\hbar^2}{2m}u^{\prime\prime}+V_{eff}u=Eu</math>. הפתרון הוא לקחת פעם את r לאינסוף, ופעם להשאיף אותו לאפס, וכך לקבל שהפונקציות מתנהגות בצורות מסוימות בערכים קטנים ובצורות מסוימות בערכים גדולים - ומה שנותר הוא פונקציה שיש לחשב. ראשית, בערכים נמוכים, ניתן לקרב כל פונקציה כ<math>u \approx A r^a</math> . אם נציב פתרון כזה במשוואה, נקבל <math>-\frac{\hbar^2}{2m}u^{\prime\prime}+(-\frac{ Z e^2}{4 \pi \epsilon_0 r}+\frac{\hbar^2 \ell(\ell+1)}{2mr^2})u=Eu</math>. עכשיו, עבור ערכים נמוכים של r, החלק שהולך כמו <math>\frac{1}{r}</math>(כלומר החלק של הפוטנציאל) הוא קטן יחסית, וכך גם החלק שלא כולל גזירה/חלוקה בחזקה של r - הכפל Eu. בהינתן ההזנחות האלו, מתקבלת המשוואה <math>-\frac{\hbar^2}{2m}\cdot a(a-1)r^{a-2}+\frac{\hbar^2\ell(\ell+1)}{2m}r^{a-2}=0</math>. אנחנו מקבלים שמתקיים <math>a(a-1)=\ell(\ell+1)</math> ובסך הכל מתקיים <math>a=-\ell \qquad or \qquad a=\ell+1</math>. עם זאת, הפתרון השלילי מתבדר ולכן אינו אפשרי - מתקיים a=l+1. כלומר, קיבלנו פונקציה מהצורה <math>u(r)=r^{\ell+1}*h(r)</math>. ניחוש בערכים גדולים ייתן לנו בסופו של דבר את הפונקציה <math>u(r)=r^{\ell+1}\cdot e^{-\frac{r}{2}}\cdot L(r)</math>. כעת נותר לנו להציב את הניחוש במשוואה, ולראות איזו פונקציה נקבל עבור L --> === הנוון באטום המימן === אטום המימן מיוחד בכך שרמות האנרגיה שלו מאופינות על ידי המספר הקוונטי הראשי בלבד. עבור כח מרכזי שאינו כח קולון האנרגיות תלויות גם במספר הקוונטי של התנע הזויתי, <math>E_{n,\ell}</math>, ואינן תלויות במספר הקוונטי המגנטי משיקולי סימטטריה. ולכן, לפוטנציאל מרכזי שאינו קולון, יש לצפות לנוון <math>2\ell +1</math> של הרמה <math>E_{n,\ell}</math>. במימן אין תלות של האנרגיה בתנע הזויתי הכללי, והנוון גדל. ניתן לראות מכך שהנוון של רמת האנרגיה <math>E_{n}</math> הוא <math>n^2</math>. הנוון העודף באטום המימן קשור בסימטריה יותר עשירה מסמטרית הסיבובים בשלושה ממדים, וקשורה בקיום של קבוע תנועה יחודי לבעיה בפוטנציאל קולון שהוא וקטור רונגה-לנץ <math>\mathbf{A} = \frac 1 2 \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}-\mathbf{L} \times \mathbf{p}\right) - m k \mathbf{\hat{r}}</math> === ספין ותיקונים יחסותיים === משואת שרדינגר המקורית מתארת את אטום המימן בגבול הלא יחסותי. במיוחד, מתעלמת מהספין של האלקטרון. פאולי הכליל את משואת שרדינגר (התלויה בזמן) לחלקיק עם ספין חצי. משואת פאולי לאטום המימן<ref>בהעדר שדות מגנטים חיצונים</ref> היא <math>\left[ \frac{1}{2m}\left(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{p} \right)^2 +e V \right] |\psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle</math> כאשר <math>\boldsymbol{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)</math> הוא (וקטור) של [[מטריצות פאולי]]. ו-<math>\mathbf{ p}=-i \hbar \nabla</math> אופרטור התנע . את התיקונים היחסותיים למשואת שרדינגר ניתן לסווג באמצעות החזקות של [[קבוע המבנה הדק]] <math>\alpha=\frac{e^2}{\hbar c}\approx \frac{1}{137.035 999 679(94)}</math> כך למשל, אבר האינטראקציה ספין-מסילה<ref>https://en.wikipedia.org/wiki/Spin%E2%80%93orbit_interaction</ref> הוא מסדר <math>\alpha^2</math>, אבר הפיצול של למב מסדר <math>\alpha^5</math>, ושל המבנה המגנטי העל-דק מסדר <math>\alpha^6</math>. הפיתוח לטור של רמות האנרגיה של אטום מימן בחזקות של <math>\alpha</math> במסגרת תורת השדות הקוונטית חושב לסדרים גבוהים (הפיתוח כולל גם אברים לוגריתמים). ==אילוסטרציה של פונקציות הגל של אטום המימן== {| class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none;" {| align="left" bordefbufvjrsr="1" style="width:50%" |+ ! style="background:#E5E4E2; color:black ; font-weight:normal" align="right" co hhdvutlspan="7" | |- |- ! ! <math>\ell = 0 \; (s)</math> ! colspan="2" | <math>\ell = 1 \; (p)</math> ! colspan="3" | <math>\ell = 2 \; (d)</math> |- ! ! <math>m=0 \,\!</math> ! <math>m=0 \,\!</math> ! <math>m= \pm 1 \,\!</math> ! <math>m=0 \,\!</math> ! <math>m= \pm 1 \,\!</math> ! <math>m= \pm 2 \,\!</math> |- !<math>n=1 \,\!</math> | [[קובץ:S1M0.png|50px]] | | | | | |- !<math>n=2 \,\!</math> | [[קובץ:S2M0.png|50px]] | [[קובץ:P2M0.png|50px]] | [[קובץ:P2x.png|50px]] | | | |- !<math>n=3 \,\!</math> | [[קובץ:S3M0.png|50px]] | [[קובץ:P3M0.png|50px]] | [[קובץ:P3x.png|50px]] | [[קובץ:D3M0.png|50px]] | [[קובץ:D3xz.png|50px]] | [[קובץ:D3xy.png|50px]] |- !<math>n=4 \,\!</math> | [[קובץ:S4M0.png|50px]] | [[קובץ:P4M0.png|50px]] | [[קובץ:P4x.png|50px]] | [[קובץ:D4M0.png|50px]] | [[קובץ:D4xz.png|50px]] | [[קובץ:D4xy.png|50px]] |- !<math>n=5 \,\!</math> | [[קובץ:S5M0.png|50px]] | [[קובץ:P5M0.png|50px]] | [[קובץ:P5M1.png|50px]] | [[קובץ:D5M0.png|50px]] | [[קובץ:D5xz.png|50px]] | [[קובץ:D5xy.png|50px]] |- |} . ==מקורות== <div class="mw-content-ltr"> * {{cite book | title = Quantum Generations | url = https://archive.org/details/quantumgeneratio0000krag | author = Kragh, Helge| publisher =Princeton University Press | location = Princeton, New Jersey| isbn = 0-691-01206-7 | date = 1999}} * {{cite book | title = Principles of Quantum Mechanics | author = Shankar, R| publisher =Kluwer Academic/Plenum Publisher| isbn = 0-306-44790-8 | date = 1994}} * {{cite book | title = Introduction to Quantum Mechanics| author = Griffiths, David| publisher =Prentice Hall| location = Upper Saddle River, New Jersey| isbn = 0-13-124405-1| date = 1995}}</div> == קישורים חיצוניים == {{ויקישיתוף בשורה}} *[http://www.falstad.com/qmatom/ סימולציית ג'אווה אינטראקטיבית של פול פלסטד המתארת את האורביטלים של אטום המימן] *[http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2015/04/blog-post.html האופרטור הווקטורי רונגה-לנץ], בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של [[עופר מגד]] *[http://ofer-megged-phys-notes.blogspot.co.il/2015/05/blog-post.html הקזימירים של המימן], בבלוג "רשימות בפיזיקה עיונית" של עופר מגד == הערות שוליים == {{הערות שוליים|יישור=שמאל}} {{בקרת זהויות}} [[קטגוריה:מימן]] [[קטגוריה:אטומים]] [[de:Wasserstoff#Isotope]] [[fr:Protium]] [[pl:Wodór atomowy]] [[ru:Протий]]'